E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs $3$ et $2$. $OAMF$ est un rectangle.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.
Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$.

  1. La droite $(OM)$ est-elle perpendiculaire à la droite $(DC)$ ?
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{CD}.\vect{CM}$
    $\quad$
  3. Déterminer la longueur $CH$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$ on a $O(0;0)$, $M(3;-2)$, $D(-2;0)$ et $C(0;3)$.
    Ainsi $\vect{OM}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{DC}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{OM}.\vect{DC}&=3\times 2+(-2)\times 3
    &=0\end{align*}$
    Ces vecteurs sont donc orthogonaux.
    Par conséquent les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=-2\times 3+(-3)\times (-5)\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$
  3. $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=\vect{CD}.\vect{CH} \\
    &=CD \times CH\end{align*}$
    Dans le triangle $OCD$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=OD^2+OC^2 \\
    &=9+4\\
    &=13\end{align*}$
    Ainsi $CD=\sqrt{13}$.
    Donc $\vect{CD}.\vect{CM}=CH\sqrt{13}$
    Or $\vect{CD}.\vect{CM}=9$
    Par conséquent $CH=\dfrac{9}{\sqrt{13}}$
    $\quad$

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$\quad$

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