E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$, on considère les points $A(4 ; -1)$, $B(3 ; 4)$ et $C(-1 ; 1)$.

  1. Calculer le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  2. a. Soit $D$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$, justifier que $\vect{AB}.\vect{AD}=\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
    b. En déduire la longueur $AD$.
    $\quad$
  3. Déterminer la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$.
    $\quad$
  4. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{align*}-1\\5\end{align*}$ et $\vect{AC}\begin{align*}-5\\2\end{align*}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times (-5)+5\times 2 \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\left(\vect{AD}+\vect{DC}\right)\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{AB}.\vect{DC}\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}+0\\
    &=\vect{AB}.\vect{AD}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}AB&=\sqrt{(-1)^2+5^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont colinéaires et de même sens (puisque leur produit scalaire est positif).
    Ainsi $\vect{AB}.\vect{AD}=AB\times AD$.
    Par conséquent $\sqrt{26}AD=15 \ssi AD=\dfrac{15}{\sqrt{26}}$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{(-5)^2+2^2}\\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    Dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore
    $\begin{align*} &AC^2=AD^2+DC^2 \\
    \ssi~&29=\left(\dfrac{15}{\sqrt{26}}\right)^2+DC^2 \\
    \ssi~&29 \dfrac{225}{26}+DC^2 \\
    \ssi~&DC^2=\dfrac{529}{26}\\
    \ssi~&DC=\sqrt{\dfrac{529}{26}}\\
    \ssi~&DC=\dfrac{23}{\sqrt{26}}\end{align*}$
    $\quad$
  4. L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{ABC}&=\dfrac{AB\times DC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{26}\times \dfrac{23}{\sqrt{26}}}{2} \\
    &=\dfrac{23}{2}\\
    &=11,5\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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