Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé on considère le point $A(-3; 5)$ et la droite $(d)$ dont une équation cartésienne est $-x+3y+2=0$.

Tracer la droite $(d)$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
$\quad$
Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(d)$.
$\quad$
Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A$.
$\quad$
En déduire que le point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(d)$, a pour coordonnées $(-1; -1)$.
$\quad$
En déduire la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Si $y=0$ alors $x=2$. La droite passe par le point $B(2;5)$.
Si $x=-1$ alors $y=-1$. La droite passe par le point $C(-1;-1)$.
On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$
Un vecteur normal à la droite $(d)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
$\quad$
On appelle $(d’)$ la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
$\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
Ainsi une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est de la forme $3x+y+c=0$.
Le point $A(-3;5)$ appartient à cette droite.
Donc $-9+5+c=0 \ssi c=4$.
Une équation de la droite $(d’)$ est donc $3x+y+4=0$.
$\quad$
Vérifions que le point $H(-1;-1)$ appartient au deux droites.
D’après la réponse apportée à la question 1. le point $H$ et le point $C$ sont confondus. Donc $H$ appartient à la droite $(d)$.
$3\times (-1)+(-1)+4=-3-1+4=0 \checkmark$.
Le point $H$ appartient également à la droite $(d’)$.
Ainsi $H(-1;-1)$ est bien le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$.
$\quad$
Ainsi la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$ est :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(-1-(-3)\right)^2+(-1-5)^2} \\
&=\sqrt{2^2+(-6)^2} \\
&=\sqrt{40}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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