Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A$ de coordonnées $(3; 1)$ ainsi que la droite $(d)$ d’équation cartésienne $x-3y-4=0$.

Déterminer les coordonnées du point $B$ d’abscisse $7$ appartenant à la droite $(d)$.
$\quad$
Donner un vecteur normal à la droite $(d)$.
$\quad$
Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
$\quad$
Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(d)$.
$\quad$
Calculer la distance $AH$ et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Si $x=7$ on a alors :
$\begin{align*} 7-3y-4=0 &\ssi -3y=-3\\
&\ssi y=1\end{align*}$
Le point $B$ a donc pour coordonnées $(7;1)$.
$\quad$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $x-3y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$.
$\quad$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $(\Delta)$.
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est par conséquent de la forme $-3x-y+c=0$.
Le point $A(3;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-9-1+c=0\ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc $-3x-y+10=0$.
$\quad$
Le point $H$ est le point d’intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$. Ses coordonnées sont donc solution du système d’équations :
$\begin{align*} \begin{cases} x-3y-4=0\\-3x-y+10=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-3(3y+4)-y+10=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-9y-12-y+10=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-10y-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\y=-0,2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-0,2\\x=3,4\end{cases}\end{align*}$
$H$ a donc pour coordonnées $(3,4\ ;\ -0,2)$.
$\quad$
Ainsi :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{(3,4-3)^2+(-0,2-1)^2} \\
&=\sqrt{0,4^2+(-1,2)^2}\\
&=\sqrt{1,6}\end{align*}$
La distance du point $A$ à la droite $(d)$ est donc égale à $\sqrt{1,6}$.
$\quad$

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$\quad$

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