Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses $5~000$ clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $2~000$ clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $900$ demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $650$ clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On notera $C$ l’évènement « le client souhaite une « couleur-soin ».
On notera $E$ l’évènement « le client souhaite un « effet coup de soleil ».

Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&C&\conj{C}&\text{Total}\\
\hline
E&&900&\\
\hline
\conj{E}&&&\\
\hline
\text{Total}&\phantom{\text{Total}}&\phantom{\text{Total}}&5~000\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On interroge un client au hasard parmi les $5~000$ clients.
a. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » ?
$\quad$
b. Calculer $P_E\left(\conj{C}\right)$.
$\quad$
On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé en euros par chaque client.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
\hline
\text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
\hline
P(X=k)&&&0,18&0,13\\
\hline
\end{array}$$
Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&C&\conj{C}&\text{Total}\\
\hline
E&650&900&1~550\\
\hline
\conj{E}&1~350&2~100&3~450\\
\hline
\text{Total}&2~000&3~000&5~000\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} P(C\cap E)&=\dfrac{650}{5000}~\\
&=0,13\end{align*}$
La probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » est $0,13$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P_E\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{900}{1~550}\\
&=\dfrac{18}{31}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
\hline
\text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
\hline
P(X=k)&0,42&0.27&0,18&0,13\\
\hline
\end{array}$$
En effet :
$\begin{align*} P(X=20)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right) \\
&=\dfrac{2~100}{5~000}\\
&=0,42\end{align*}$
et
$\begin{align*} P(X=50)&=P\left(C\cap \conj{E}\right) \\
&=\dfrac{1~350}{5~000}\\
&=0,27\end{align*}$
$\quad$
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=20\times 0,42+50\times 0,27+65\times 0,18+80\times 0,13\\
&=44\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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