E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans $30\%$ des cas, et gagne contre le monstre B dans $25\%$ des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les événements :

  • $A$ :« Le joueur affronte le monstre A. »
  • $B$ :« Le joueur affronte le monstre B. »
  • $V$ :« Le joueur est victorieux. »
  1. Déterminer $P_B\left(\conj{V}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(B\cap V)=\dfrac{1}{20}$.
    $\quad$
  3. Calculer $P(V)$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est
    victorieux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé on a $P_B(V)=0,25$ donc $P_B\left(\conj{V}\right)=0,75$.
    La probabilité que le joueur perde contre le monstre B est égale à 0,75$.
    $\quad$
  2. On a $P(B)=\dfrac{1}{5}$ et $P_B(V)=0,25$
    $\begin{align*} P(B\cap V)&=P(B)\times P_B(V)\\
    &=\dfrac{1}{5}\times 0,25 \\
    &=\dfrac{1}{20}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V)\\
    &=\dfrac{4}{5}\times 0,3+\dfrac{1}{20} \\
    &=0,29\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{1}{20}~}{0,29} \\
    &=\dfrac{5}{29}\end{align*}$
    La probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux est égale à $\dfrac{5}{29}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence