Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans $30\%$ des cas, et gagne contre le monstre B dans $25\%$ des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les événements :

$A$ :« Le joueur affronte le monstre A. »
$B$ :« Le joueur affronte le monstre B. »
$V$ :« Le joueur est victorieux. »

Déterminer $P_B\left(\conj{V}\right)$ et interpréter le résultat.
$\quad$
Montrer que $P(B\cap V)=\dfrac{1}{20}$.
$\quad$
Calculer $P(V)$.
$\quad$
Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est
victorieux.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

D’après l’énoncé on a $P_B(V)=0,25$ donc $P_B\left(\conj{V}\right)=0,75$.
La probabilité que le joueur perde contre le monstre B est égale à $0,75$.
$\quad$
On a $P(B)=\dfrac{1}{5}$ et $P_B(V)=0,25$
$\begin{align*} P(B\cap V)&=P(B)\times P_B(V)\\
&=\dfrac{1}{5}\times 0,25 \\
&=\dfrac{1}{20}\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V)\\
&=\dfrac{4}{5}\times 0,3+\dfrac{1}{20} \\
&=0,29\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
&=\dfrac{~\dfrac{1}{20}~}{0,29} \\
&=\dfrac{5}{29}\end{align*}$
La probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux est égale à $\dfrac{5}{29}$.
$\quad$

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$\quad$

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