E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Pierre joue à un jeu dont une partie est constituée d’un lancer d’une fléchette sur une cible suivi d’un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqués « gagnant » ou « perdant » indiscernables.

  •  S’il tire un ticket marqué « gagnant », il pourra recommencer une partie.
  • S’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant
    exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ».
  • S’il n’atteint pas le centre de la cible (donc même s’il n’atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l’urne $U_2$ contenant exactement quatre tickets marqués « gagnant » et six tickets marqués « perdant ».

Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilité de $0,3$.

On note les événements suivants :
$\hspace{1cm} C$ : « Pierre atteint le centre de la cible » ;
$\hspace{1cm} G$ : « Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie ».

  1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et justifier la valeur $0,9$.

    $\quad$
  2. Compléter sur la copie l’arbre pondéré en traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $C\cap G$.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, quelle est la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré :

    On sait que s’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ». La probabilité qu’il tire un ticket gagnant sachant qu’il a atteint le centre est $\dfrac{9}{9+1}=0,9$.
    $\quad$
  2. voir arbre de la question précédente.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap G\right)&=P_{\conj{C}}(G)\times P\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,7\times 0,4\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$
  4. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(C\cap G)+P\left(\conj{C}\cap G\right) \\
    &=0,3\times 0,9+0,28\\
    &=0,55\end{align*}$
    La probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_G(C)&=\dfrac{P(G\cap C)}{P(G)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,55} \\
    &=\dfrac{27}{55}\\
    &\approx 0,491\end{align*}$
    Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible est environ égale à $0,491$.
    $\quad$

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$\quad$

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