Probabilités

E3C2 – 1ère

Pierre joue à un jeu dont une partie est constituée d’un lancer d’une fléchette sur une cible suivi d’un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqués « gagnant » ou « perdant » indiscernables.

S’il tire un ticket marqué « gagnant », il pourra recommencer une partie.
S’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant
exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ».
S’il n’atteint pas le centre de la cible (donc même s’il n’atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l’urne $U_2$ contenant exactement quatre tickets marqués « gagnant » et six tickets marqués « perdant ».

Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilité de $0,3$.

On note les événements suivants :
$\hspace{1cm} C$ : « Pierre atteint le centre de la cible » ;
$\hspace{1cm} G$ : « Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie ».

Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et justifier la valeur $0,9$.

$\quad$
Compléter sur la copie l’arbre pondéré en traduisant les données de l’exercice.
$\quad$
Calculer la probabilité de l’événement $\conj{C}\cap G$.
$\quad$
Montrer que la probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
$\quad$
Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, quelle est la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré :

On sait que s’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ». La probabilité qu’il tire un ticket gagnant sachant qu’il a atteint le centre est $\dfrac{9}{9+1}=0,9$.
$\quad$
voir arbre de la question précédente.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap G\right)&=P_{\conj{C}}(G)\times P\left(\conj{C}\right) \\
&=0,7\times 0,4\\
&=0,28\end{align*}$
$\quad$
$C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(G)&=P(C\cap G)+P\left(\conj{C}\cap G\right) \\
&=0,3\times 0,9+0,28\\
&=0,55\end{align*}$
La probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_G(C)&=\dfrac{P(G\cap C)}{P(G)}\\
&=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,55} \\
&=\dfrac{27}{55}\\
&\approx 0,491\end{align*}$
Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible est environ égale à $0,491$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence