E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise de $1~000$ employés est organisée en 3 services « A », « B » et « C » d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés. Une enquête effectuée auprès de tous les employés sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montré que :

  • $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $20 \% des employés du service « B » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $80 \%$ des employés du service « C » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : l’employé fait partie du service « A » ;
  • $B$ : l’employé fait partie du service « B » ;
  • $C$ : l’employé fait partie du service « C » ;
  • $T$ : l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. Justifier que $P(A) = 0,45$ puis donner $P_A(T)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe qui sera à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  4. Montrer que $P(T) = 0,482$.
    $\quad$
  5. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service « C ». Arrondir à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=\dfrac{450}{1~000}\\
    &=0,45\end{align*}$
    D’après l’énoncé, $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.
    Donc $P_A(T)=0,4$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T)\\
    &=0,45\times 0,4\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à $0,18$.
    $\quad$
  4. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T)\\
    &=0,18+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8\\
    &=0,482\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(C)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,32\times 0,8}{0,482}\\
    &\approx 0,531\end{align*}$
    Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, la probabilité qu’il fasse partie du service « C » est environ égale à $0,531$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence