E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Une enquête a été menée auprès de lycéens pour estimer la proportion de ceux qui ont déjà consommé du cannabis. Pour encourager les réponses sincères, on met en place le protocole
suivant :
Chaque adolescent lance d’abord un dé équilibré à 6 faces et l’enquêteur qui va l’interroger ne connaît pas le résultat du lancer. À la question « Avez-vous déjà consommé du cannabis ? », l’adolescent doit répondre :

  • « non » si le résultat du lancer est 5, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » si le résultat du lancer est 6, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » ou « non » dans les autres cas, mais de façon sincère.

On note :

  • $N$ : l’évènement l’adolescent a répondu « non » ;
  • $O$ : l’évènement l’adolescent a répondu « oui » ;
  • $C$ : l’évènement l’adolescent a déjà consommé effectivement du cannabis ;
  • $\conj{C}$ : l’évènement l’adolescent n’a jamais consommé du cannabis.

Sur les lycéens qui ont participé à cette enquête on constate que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » est de $\dfrac{3}{5}$, soit $p(O) =\dfrac{3}{5}$.
On veut déterminer la probabilité, notée $p$, qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis.
On a donc $p(C) = p$ .

  1. Justifier que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » sachant qu’il n’a jamais consommé de cannabis est $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On a représenté en annexe l’arbre de probabilités représentant la situation. Compléter l’arbre sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité 𝑝 qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis vérifie l’équation : $$\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{5}$$
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $p$.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, quelle est la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère donc un adolescent qui n’a jamais consommé de cannabis.
    Il ne répond « oui » que s’il obtient 6 lors du lancer de dé.
    Donc $p_{\conj{C}}(O)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. a. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(O)=p(C\cap O)+p\left(\conj{C}\cap O\right) \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=p\times \dfrac{5}{6}+(1-p)\times \dfrac{1}{6} \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{6}p+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}p \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{2}{3}p=\dfrac{13}{30} \\
    &\ssi p=0,65\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_N\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{p\left(N\cap \conj{C}\right)}{p(N)}\\
    &=\dfrac{(1-0,65)\times \dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{3}{5}} \\
    &=\dfrac{35}{48}\end{align*}$
    Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis est égale à $\dfrac{35}{48}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence