E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, pour tout évènement $A$, on note $\conj{A}$ son évènement contraire, $P(A)$ sa probabilité et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

Une entreprise a fabriqué en un mois $1~500$ chaudières, dont $900$ chaudières à cheminée et $600$ chaudières à ventouse.
On a constaté, dans ce lot, que :

  • $1 \%$ des chaudières à cheminées ont un défaut
  • $6 \%$ des chaudières à ventouses ont un défaut.

On prélève au hasard le numéro de série d’une chaudière de la production de ce
mois.
On considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à cheminée »
  • $V$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à ventouse »
  • $D$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière défectueuse »
  1. Recopier et compléter sur la copie le tableau à double entrée suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse.
    $\quad$
  4. Déterminer $P_D(V)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. Les évènements $D$ et $V$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&9&36&45\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&891&564&1~455\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    En effet $\dfrac{1}{100}\times 900=9$ et $\dfrac{6}{100}\times 600=36$
    Les autres valeurs s’obtiennent par différence.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P(V\cap D) \\
    &=0,6\times 0,01+0,4\times 0,06\\
    &=0,03\end{align*}$
    La probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse est égale à $0,03$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_D(V)&=\dfrac{P(D\cap V)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,06}{0,03}\\
    &=0,8\end{align*}$
    La probabilité que la chaudière soit à ventouse sachant qu’elle est défectueuse est égale à $0,8$.
    $\quad$
  5. On a P(V)=0,4$ et P_D(V)=0,8$.
    Ces probabilités étant différentes, les événements $V$ et $D$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

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$\quad$

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