E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu est organisé à partir d’un sac contenant $6$ jetons rouges et $4$ jetons noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur prend deux jetons au hasard dans le sac selon le déroulé suivant :

  • le joueur prend un premier jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté ;
  • le joueur prend un second jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté.

On note :

  • $R_1$ l’événement « le premier jeton tiré est de couleur rouge » ;
  • $R_2$ l’événement « le second jeton tiré est de couleur rouge ».
  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous :

    $\quad$
  2. On considère l’événement $A$ « le joueur obtient deux jetons de couleur rouge ».
    a. Déterminer la probabilité $p(A)$.
    $\quad$
    b. Décrire l’événement contraire de l’événement $A$ par une phrase de la forme : « le joueur obtient … » .
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. Le second jeton tiré est de couleur noire. Que peut-on alors penser de l’affirmation suivante:
    « il y a plus de $50 \%$ de chance que le premier jeton tiré ait été de couleur rouge » ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} p(A)&=p\left(R_1\cap R_2\right) \\
    &=p\left(R_1\right)\times p_{R_1}\left(R_2\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{5}{9}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement $A$ est « le joueur obtient au plus un jeton de couleur rouge ».
    $\quad$
  3. $R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(R_1\cap R_2\right)+p\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}+0,4\times \dfrac{2}{3}\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*}p_{\conj{R_2}}\left(R_1\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap \conj{R_2}\right)}{p\left(R_2\right)}\\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{4}{9}}{1-0,6} \\
    &=\dfrac{2}{3}\\
    &>0,5\end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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