E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses clients qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $40 \%$ des clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $30 \%$ des clients demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $24 \%$ des clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On interroge un client au hasard.

On notera $C$ l’évènement « Le client souhaite une “couleur-soin.” ».
On notera $E$ l’évènement « Le client souhaite un “effet coup de soleil.” ».

  1. Donner les valeurs de $P(C)$, $P( C \cap E)$ et $P_{C\conj{C}}(E)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’évènement $E$ est égale à $0,42$.
    $\quad$
  4. Les évènements $C$ et $E$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé :
    $P(C)=0,4$
    $P(C\cap E)=0,24$
    $P_{\conj{C}}(E)=0,3$
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\right)&=1-P(C)\\
    &=0,6\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right)&=1-P_{\conj{C}}(E) \\
    &=0,7\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right)&=P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right) \\
    &=0,6\times 0,7 \\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un «effet coup de soleil » est égale à $0,42$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(C\cap E)+P\left(\conj{C}\cap E\right) \\
    &=0,24+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(E) \\
    &=0,24+0,6\times 0,3 \\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité de l’évènement $E$ est égale à 0,42.
    $\quad$
  4. D’une part on a $P(E)=0,42$
    D’autre part :
    $\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,24}{0,4} \\
    &=0,6\end{align*}$
    Par conséquent $P(E)\neq P_C(E)$.
    Les événements $C$ et $E$ ne sont pas indémendants.
    $\quad$

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$\quad$

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