Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que pourraient emporter certains voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :

• $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique ».
• $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
  On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On remarque que :

• Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$.
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous illustrant cette situation :
   
   $\quad$
2. Montrer que : $P(S) = 0,021~92$.
   $\quad$
3. On suppose qu’à chaque fois qu’un voyageur franchit le portique, la probabilité que ce portique sonne est égale à $0,021~92$, et ce de façon indépendante des éventuels déclenchements de sonnerie lors des passages des autres voyageurs.
   Deux personnes passent successivement le portique de sécurité. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le portique sonne.
   a. Justifier qu’on peut modéliser la loi de $X$ par une loi binomiale $B(n;p)$ dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
   $\quad$
   b. Reprendre et compléter le tableau donnant la loi de $X$ :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
   \hline
   P(X=k)&&&\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. Calculer et interpréter l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$

$\quad$

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