E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, on notera $P(E)$ la probabilité d’un évènement $E$.

La répartition des $150$ adhérents d’un club de sport est donnée dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Âge}&15\text{ ans}&16\text{ ans}&17\text{ ans}&18\text{ ans}\\
\hline
\text{Nombre de filles}&17&39&22&10\\
\hline
\text{Nombre de garçons}&13&36&8&5\\
\hline
\text{Total}&30&75&30&15\\
\hline
\end{array}$$

On choisit un adhérent au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans ?
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
    $\quad$

On note 𝑋 la variable aléatoire donnant l’âge de l’adhérent choisi.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X\pg 16)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. La probabilité que ce soit une fille est
    $\begin{align*} p’&=\dfrac{10}{15}\\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La loi de probabilité de $X$ est :
    $\begin{align*} P(X=15)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=16)&=\dfrac{75}{150} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=17)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=18)&=\dfrac{15}{150} \\
    &=\dfrac{1}{10}\end{align*}$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 16)&=1-P(X=15) \\
    &=1-\dfrac{1}{5}\\
    &=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    $\dfrac{4}{5}$ des adhérents ont au moins $16$ ans.
    $\quad$
  5. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{15\times P(X=15)+16\times P(X=16)+17\times P(X=17)+18\times P(X=18)} \\
    &=16,2\end{align*}$
    L’âge moyen des adhérents est de $16,2$ ans.
    $\quad$

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$\quad$

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