Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un jeu, Jeanne doit trouver la bonne réponse à une question posée.
Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma et musique.
Jeanne, fervente supportrice de ce jeu, est consciente qu’elle a :
$1$ chance sur $2$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en sport ;
$3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en cinéma ;
$1$ chance sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en musique.
On note :
$S$ l’événement : « Jeanne est interrogée en sport » ;
$C$ l’événement : « Jeanne est interrogée en cinéma » ;
$M$ l’événement : « Jeanne est interrogée en musique » ;
$B$ l’événement : « Jeanne donne une bonne réponse ».

Rappel de notation : la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$.

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que $P(S)=P(C)=P(M)=\dfrac{1}{3}$.

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
$\quad$
Jeanne tire au hasard une question. Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Pour participer à ce jeu, Jeanne doit payer $10$ € de droit d’inscription. Elle recevra :

$10$ € si elle est interrogée en sport et que sa réponse est bonne ;
$20$ € si elle est interrogée en cinéma et que sa réponse est bonne ;
$50$ € si elle est interrogée en musique et que sa réponse est bonne ;
rien si la réponse qu’elle donne est fausse.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Jeanne associe son gain algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’elle reçoit et les $10$ € de droit d’inscription.

Montrer que $P(X=40)=\dfrac{1}{12}$.
$\quad$
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
Calculer l’espérance mathématique de $X$. Jeanne a-t-elle intérêt à jouer ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$S$, $C$ et $M$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(S\cap B)+P(C\cap B)+P(M\cap B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=40)&=P(M\cap B)\\
&=P(M)\times P_M(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=-10)&=P\left(\conj{B}\right)\\
&=1-\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=0)&=P(S\cap B)\\
&=P(S)\times P_S(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=10)&=P(C\cap B)\\
&=P(C)\times P_C(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$P(X=40)=\dfrac{1}{12}$
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10P(X=-10)+0P(X=0)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
&=-10\times \dfrac{1}{2}+10\times \dfrac{1}{4}+40\times \dfrac{1}{12} \\
&=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
Par conséquent $E(X)>0$. Jeanne a donc intérêt à jouer.
$\quad$

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$\quad$

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