E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des téléviseurs. Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et que parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur.
  • $5\%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit un téléviseur au hasard et on considère les événements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle » ;
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $E$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Les résultats seront approchés si nécessaire à $\boldsymbol{10^{-4}}$ près.

  1. Justifier que $p(D)=0,03$ puis donner $p_D(C)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les
    probabilités associées :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
  4. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
    $\quad$
  5. Montrer que la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle. Donc $P(D)=0,03$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C)\\
    &=0,03\times 0,02\\
    &=0,000~6\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)}\\
    &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
    &=0,012\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle sachant qu’il a un défaut sur le condensateur est égale à $0,012$.
    $\quad$
  5. On a donc :
    $\begin{align*} p_C\left(\conj{D}\right)&=1-p_C(D)\\
    &=0,988\end{align*}$
    $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p_C\left(\conj{D}\right)\\
    &=0,05\times 0,988\\
    &=0,049~4\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
    $\quad$

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$\quad$

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