Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des téléviseurs. Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

$3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et que parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur.
$5\%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit un téléviseur au hasard et on considère les événements suivants :

$D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle » ;
$C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $E$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Les résultats seront approchés si nécessaire à $\boldsymbol{10^{-4}}$ près.

Justifier que $p(D)=0,03$ puis donner $p_D(C)$.
$\quad$
Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les
probabilités associées :
$\quad$
Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
$\quad$
Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
$\quad$
Montrer que la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle. Donc $P(D)=0,03$.
Parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur. Donc $P_D(C)=0,02$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C)\\
&=0,03\times 0,02\\
&=0,000~6\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)}\\
&=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
&=0,012\end{align*}$
La probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle sachant qu’il a un défaut sur le condensateur est égale à $0,012$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} p_C\left(\conj{D}\right)&=1-p_C(D)\\
&=0,988\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p_C\left(\conj{D}\right)\\
&=0,05\times 0,988\\
&=0,049~4\end{align*}$
La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
$\quad$
Autre méthode : $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*}&P(C)=P(C\cap D)+P\left(C\cap \conj{D}\right) \\
\ssi &~ 0,05= 0,000~6+P\left(C\cap \conj{D}\right) \\
\ssi &~P\left(C\cap \conj{D}\right)=0,049~4\end{align*}$.

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$\quad$

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