Probabilités

E3C2 – 1ère

Un libraire dispose d’un stock de magazines. On sait que $40 \%$ des magazines proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il constate que $91 \%$ des magazines reçus sont vendus dans la semaine.
Il constate également que $85 \%$ des magazines provenant du fournisseur A sont vendus dans la semaine.

Le responsable des achats prend au hasard un magazine dans le stock. On considère les évènements suivants :

$A$ : « le magazine provient du fournisseur A »
$B$ : « le magazine provient du fournisseur B »
$S$ : « le magazine est vendu dans la semaine »

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $E$ et $F$ où $F$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

Quelle est la probabilité que le magazine provienne du fournisseur B ?
$\quad$
On note $P_B(S)=x$. Recopier et compléter sur la copie avec les trois valeurs demandées l’arbre pondéré ci-dessous traduisant la situation :

$\quad$
Calculer la probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine.
$\quad$
Démontrer que $0,34 + 0,6x = 0,91$. En déduire que $P(B\cap S) = 0,57$.
$\quad$
Le magazine choisi est vendu dans la semaine. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B. En donner sa valeur arrondie à $10^{-3}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(A)=0,4$ donc $P(B)=0,6$.
La probabilité que le magazine provienne du fournisseur B est égale à $0,6$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P(A\cap S)&=P(A)\times P_A(S) \\
&=0,4\times 0,85 \\
&=0,34\end{align*}$
La probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine est égale à $0,34$.
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} &P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)\\
\ssi~&0,91=0,4\times 0,85+0,6x \\
\ssi~&0,91=0,34+0,6x\end{align*}$
$\quad$
$0,91=0,34+0,6x \ssi 0,6x=0,57 \ssi x=0,95$
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P(B)\times P_B(S) \\
&=0,6\times 0,95 \\
&=0,57\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_S(B)&=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\\
&=\dfrac{0,57}{0,91} \\
&\approx 0,626\end{align*}$
La probabilité que le magasine choisi provienne du fournisseur B sachant qu’il est vendu dans la semaine est environ égale à $0,626$.
$\quad$

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$\quad$

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