Probabilités

E3C2 – 1ère

Un pépiniériste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des viburnum en vue de les vendre. Ceux-ci sont de deux espèces différentes : les viburnum tinus (nom commun : laurier tin) et les viburnum opulus (nom commun : boule de neige). Il constate que :

$80 \%$ de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
Parmi les lauriers tins, $41 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
Parmi les boules de neige, $32 \%$ mesurent 1m10 ou plus.

Est-il vrai que moins de $15\%$ des viburnum de ce pépiniériste sont des boules de neige de moins de 1m10 ?
$\quad$

On choisit au hasard un viburnum chez ce pépiniériste et on considère les événements suivants :
$L$ : « le viburnum choisi est un laurier tin »
$T$ : « le viburnum mesure plus de 1m10 ».

Décrire par une phrase la probabilité $P_L\left(\conj{T}\right)$. Décrire également par une phrase l’événement $\conj{L}\cap T$.
$\quad$
Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.
$\quad$
Montrer que la probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
$\quad$
Le viburnum choisi a une taille inférieure à 1m10. Quelle est la probabilité que ce soit un boule de neige ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$20%$ des viburnum sont des boules de neige. et $68\%$ d’entre-eux mesurent moins 1m10.
$0,2\times 0,68=0,136<0,15$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$
$P_L\left(\conj{T}\right)$ est la probabilité que le viburnum mesure moins de 1m10 sachant que c’est un laurier tin.
$\quad$
L’événement $\conj{L}\cap T$ est « le viburnum choisi est un laurier boules de neige qui mesure plus de 1m10 »
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(T\cap L)+P\left(T\cap\conj{L}\right) \\
&=0,8\times 0,41+0,2\times 0,32\\
&=0,392\end{align*}$
La probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\conj{L}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{L}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,68}{1-0,392} \\
&\approx 0,224\end{align*}$
La probabilité que le viburnum choisi soit un boule de neige sachant qu’il a une taille inférieure à 1m10 est environ égale à $0,224$.
$\quad$

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$\quad$

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