E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un pépiniériste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des viburnum en vue de les vendre. Ceux-ci sont de deux espèces différentes : les viburnum tinus (nom commun : laurier tin) et les viburnum opulus (nom commun : boule de neige). Il constate que :

  • $80 \%$ de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
  • Parmi les lauriers tins, $41 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
  • Parmi les boules de neige, $32 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
  1. Est-il vrai que moins de $15\%$ des viburnum de ce pépiniériste sont des boules de neige de moins de 1m10 ?
    $\quad$

On choisit au hasard un viburnum chez ce pépiniériste et on considère les événements suivants :
$L$ : « le viburnum choisi est un laurier tin »
$T$ : « le viburnum mesure plus de 1m10 ».

  1. Décrire par une phrase la probabilité $P_L\left(\conj{T}\right)$. Décrire également par une phrase l’événement $\conj{L}\cap T$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
    $\quad$
  4. Le viburnum choisi a une taille inférieure à 1m10. Quelle est la probabilité que ce soit un boule de neige ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $20%$ des viburnum sont des boules de neige. et $68\%$ d’entre-eux mesurent moins 1m10.
    $0,2\times 0,68=0,136<0,15$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  2. $P_L\left(\conj{T}\right)$ est la probabilité que le viburnum mesure moins de 1m10 sachant que c’est un laurier tin.
    $\quad$
    L’événement $\conj{L}\cap T$ est « le viburnum choisi est un laurier tin qui mesure moins de 1m10 »
    $\quad$
  3. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  4. $L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(T\cap L)+P\left(T\cap\conj{L}\right) \\
    &=0,8\times 0,41+0,2\times 0,32\\
    &=0,392\end{align*}$
    La probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\\conj{L}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{L}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,68}{1-0,392} \\
    &\approx 0,224\end{align*}$
    La probabilité que le viburnum choisi soit un boule de neige sachant qu’il a une taille inférieure à 1m10 est environ égale à $0,224$.
    $\quad$

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$\quad$

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