E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.
Le snack propose également plusieurs desserts.
La gérante constate que 80% des clients qui achètent un plat choisissent un sandwich et que parmi ceux-ci seulement $30\%$ prennent également un dessert.
Elle constate aussi que $45 \%$ des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de dessert.

On choisit au hasard un client ayant acheté un plat dans ce snack.
On considère les évènements suivants :

$S$ : « Le client interrogé a choisi un sandwich ».
$T$ : « Le client interrogé a choisi un dessert ».

  1. Sans justifier, recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant :


    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert.
    $\quad$
  3. Démontrer que $P(T)=0,35$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à $0, 01$ près, qu’il ait acheté une pizza ?
    $\quad$
  5. Les événements $S$ et $T$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(S\cap T)&=P(S)\times P_S(T)\\
    &=0,8\times 0,3\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert est égale à $0,24$.
    $\quad$
  3. $S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(S\cap T)+P\left(\conj{S}\cap T\right) \\
    &=0,24+0,2\times 0,55\\
    &=0,35\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T}\left(\conj{S}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{S}\right)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,2\times 0,55}{0,35}\\
    &\approx 0,31\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a $P(T)=0,35$ et $P_S(T)=0,3$.
    Ces deux valeurs sont différentes. Par conséquent les événements $S$ et $T$ sont indépendants.
    $\quad$





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$\quad$

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