E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appelé « Fleur Rose », et cela uniquement avec deux contenances de flacons : un de 30 ml ou un de 50 ml. Pour l’achat d’un flacon « Fleur Rose », il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé « Bois d’ébène ». On dispose des données suivantes :

  • $58 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 30 ml et, parmi ceux-là, $24 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène » ;
  • $42 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 50 ml et, parmi ceux-là, $13 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène ».

On admet qu’un client donné n’achète qu’un seul flacon de parfum « Fleur de Rose » (soit en 30 ml soit en 50 ml), et que s’il achète un flacon du parfum « Bois d’ébène », il n’en achète
aussi qu’un seul flacon.
On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum « Fleur Rose ». On considère les événements suivants :

  • $F$ : « le client a acheté un flacon « Fleur Rose » de 30 ml » ;
  • $B$ : « le client a acheté un flacon « Bois d’ébène ».
  1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(F\cap B)$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène ».
    $\quad$
  4. Un flacon « Fleur Rose » de 30 ml est vendu $40$ €, un flacon « Fleur Rose » de 50 ml est vendu $60$ € et un flacon « Bois d’ébène » $25$ €. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum « Fleur Rose ».
    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(F\cap B)&= P(F)\times P_F(B) \\
    &=0,58\times 0,24\\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\quad$
  3. $F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(B)&=P(F\cap B)+P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
    &=0,139~2+0,42\times 0,13\\
    &=0,193~8\end{align*}$
    La probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène » est égale à $0,193~8$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} P(X=40)&=P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,58\times 0,76 \\
    &=0,440~8\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=65)&=P\left(F\cap B\right) \\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(\conj{F}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,42\times 0,87 \\
    &=0,365~4\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=85)&=P\left(\conj{F}B\right) \\
    &=0,42\times 0,13 \\
    &=0,054~6\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{40\times P(X=40)+65\times P(X=65)+60\times P(X=60)+85\times P(X=85)}\\
    &=53,245\end{align*}$
    En moyenne, un client ayant acheté un flacon du parfum « Fleur Rose » dépense $53,245$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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