E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parent d’élèves propose un jeu pour la fête de l’école.

Une urne opaque contient 100 billes indiscernables au toucher : $10$ billes rouges, $30$ billes blanches et $60$ billes vertes.

Pour une partie, chaque joueur doit miser $2$ jetons. Ensuite, le joueur prélève une bille au hasard dans l’urne.

  • Si la bille prélevée est rouge, le joueur récupère $8$ jetons.
  • Si la bille est blanche, le joueur récupère $4$ jetons.
  • Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en nombre de jetons, c’est-à-dire, le nombre de jetons gagnés diminué de la mise.

  1. a. Établir que la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs $a$ prise par $X$}&-2&2&6\\
    \hline
    P(X=a)&0,6&0,3&0,1\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le jeu est équitable, c’est-à-dire que l’espérance de $X$ est nulle.
    $\quad$
    c. Calculer la variance puis l’écart-type de $X$. On arrondira au centième.
    $\quad$
  2. Pour financer les différentes actions de l’école, les organisateurs de la fête veulent modifier le jeu pour qu’il leur devienne favorable. Ils décident alors d’ajouter des billes vertes dans l’urne.
    Combien de billes vertes doit-on ajouter dans l’urne pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La loi de probabilité de $X$ est :
    $P(X=-2)=\dfrac{60}{100}=0,6$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100}=0,3$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100}=0,1$
    $\quad$
    b.     L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,6+2\times 0,3+6\times 0,1\\
    &=0\end{align*}$
    Le jeu est donc équitable.
    $\quad$
    c. La variance de $X$ est :
    $\begin{align*} V(X)&=0,6(-2-0)^2+0,3(2-0)^2+0,1(6-0)^2
    &=7,2\end{align*}$
    L’écart-type de $X$ est :
    $\begin{align*} \sigma(X)&=\sqrt{7,2} \\
    &\approx 2,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre de billes vertes ajoutées.
    La loi de probabilité de $X$ devient alors :
    $P(X=-2)=\dfrac{60+n}{100+n}$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100+n}$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100+n}$
    $\begin{align*} E(X)=-1&\ssi \dfrac{-2(60+n)}{100+n}+ \dfrac{2\times 30}{100+n}+\dfrac{6\times 10}{100+n} =-1\\
    &\ssi -2(60+n)+60+60=-100-n\\
    &\ssi -120-2n+120=-100-n\\
    &\ssi n=100\end{align*}$
    Il faut donc ajouter $100$ billes vertes pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$.
    $\quad$

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$\quad$

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