E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

  • Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
  • Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

  1. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
    On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
    &=0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
    $\quad$
    c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,4\times 0,75+0,18\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
    &\approx 0,81\end{align*}$
    La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
    $\quad$
  2. $X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
    $\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
    &=1-0,48\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=0,48\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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