E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

  • $72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
  • Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
  • $20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
  • $36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

  • $R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
  • $B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

  1. a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

    $\quad$
    c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
    $\quad$
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&&&&\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
    Donc $P(R\cap B)=0,36$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,36+0,28\times 0,8\\
    &=0,584\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
    &=0,28\times 0,2 \\
    &=0,056\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,28\times 0,8 \\
    &=0,224\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
    &\approx 20,83\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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