Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

$72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
$20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

$R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
$B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
$\quad$
b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

$\quad$
c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&&&&\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
Donc $P(R\cap B)=0,36$
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,36+0,28\times 0,8\\
&=0,584\end{align*}$
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
\hline
\end{array}$$
En effet :
$\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
&=0,36\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
&=0,28\times 0,2 \\
&=0,056\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,28\times 0,8 \\
&=0,224\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On peut également calculer $P(X=23,5)$ directement.
$\begin{align*} P(R\cap B)=P(R)\times P_R(B)& \ssi 0,36 = 0,72 P_R(B) \\
&\ssi P_R(B)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Par conséquent $P_R\left(\conj{B}\right)=\dfrac{1}{2}$
Ainsi
$\begin{align*} P(X=23,5)&=P\left(R\cap \conj{B}\right) \\
&=P(R)\times P_R\left(\conj{B}\right) \\
&=0,72 \times \dfrac{1}{2} \\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
&\approx 20,83\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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