Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte.
Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée.

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :

$3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en sciences ;
$1$ chance sur $8$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en économie.

On note $S$ l’événement «La question est dans la catégorie Sciences» et $B$ l’événement «La réponse donnée par le groupe est bonne»

Partie A :

Calculer $P(B\cap S)$
$\quad$
Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.
$\quad$
Les événements $S$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer $5$ € de droit d’inscription.
On recevra :

$10$ € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
$30$ € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
rien si la réponse donnée est fausse.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les $5$ € de droit d’inscription.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : $\text{L} = [ -5 ; 5 ; 25]$ et $\text{G} = [0,5625 ; 0,375 ; 0,0625]$ ?
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{Jeu}(\text{L,G}):\\
\hspace{1cm} \text{n = }\textcolor{violet}{\text{len}}(\text{L})\\
\hspace{1cm} \text{E = }\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i}\textcolor{blue}{\text{ in }} \textcolor{violet}{\text{ range}}(\text{n}):\\
\hspace{2cm} \text{E = E + L[i]*G[i]}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return}}(\text{E})\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

Le paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ».
Donc $P(S)=\dfrac{1}{2}$
On sait de plus que $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$.
Donc :
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P(S)\times P_S(B) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
$\quad$
$S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totale on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(B\cap S)+P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8}\\
&=\dfrac{7}{16}\end{align*}$
La probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée est donc égale à $\dfrac{7}{16}$.
$\quad$
On a $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$ et $P(B)=\dfrac{7}{16}$
Par conséquent $P_S(B)\neq P(B)$. Les événements $S$ et $B$ ne sont pas indépendants.
$\quad$

Partie B

La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $-5$, $5$ et $25$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=5)&=P(B\cap S) \\
&=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
$\begin{align*}P(X=25)&=P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
&=P\left(\conj{S}\right)\times P_{\conj{S}}(B)\\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8} \\
&=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-5)&=1-P(X=5)-P(X=25)\\
&=1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{16}\\
&=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : Pour calculer $P(X=-5)$ on pouvait également procéder ainsi :
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
Donc
$\begin{align*} P(X=-5)&=P\left(\conj{B}\right)\\
&=1-P(B)\\
&=1-\dfrac{7}{16}\\
&=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
$\quad$
Le programme Python permet de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
Or :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+5\times P(X=5)+25\times P(X=25)\\
&=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{8}+25\times \dfrac{1}{16}\\
&=0,625\end{align*}$
Ainsi la fonction retournera la valeur $0,625$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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