E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte.
Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée.

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :

  • $3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en sciences ;
  • $1$ chance sur $8$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en économie.

On note $S$ l’événement «La question est dans la catégorie Sciences» et $B$ l’événement «La réponse donnée par le groupe est bonne»

Partie A :

  1. Calculer $P(B\cap S)$
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.
    $\quad$
  3. Les événements $S$ et $B$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer $5$ € de droit d’inscription.
On recevra :

  • $10$ € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
  • $30$ € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
  • rien si la réponse donnée est fausse.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les $5$ € de droit d’inscription.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : $\text{L} = [ -5 ; 5 ; 25]$ et $\text{G} = [0,5625 ; 0,375 ; 0,0625]$ ?
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{Jeu}(\text{L,G}):\\
    \hspace{1cm} \text{n = }\textcolor{violet}{\text{len}}(\text{L})\\
    \hspace{1cm} \text{E = }\textcolor{Mahogany}{0}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i}\textcolor{blue}{\text{ in }} \textcolor{violet}{\text{ range}}(\text{n}):\\
    \hspace{2cm} \text{E = E + L[i]*G[i]}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return}}(\text{E})\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ».
    Donc $P(S)=\dfrac{1}{2}$
    On sait de plus que $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(B\cap S)&=P(S)\times P_S(B) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totale on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(B\cap S)+P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8}\\
    &=\dfrac{7}{16}\end{align*}$
    La probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée est donc égale à $\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  3. On a $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$ et $P(B)=\dfrac{7}{16}$
    Par conséquent $P_S(B)\neq P(B)$. Les événements $S$ et $B$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $-5$, $5$ et $25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}P(X=5)&=P(B\cap S) \\
    &=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=25)&=P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=P\left(\conj{S}\right)\times P_{\conj{S}}(B)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8} \\
    &=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=-5)&=1-P(X=5)-P(X=25)\\
    &=1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{16}\\
    &=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le programme Python permet de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    Or :
    $\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+5\times P(X=5)+25\times P(X=25)\\
    &=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{8}+25\times \dfrac{1}{16}\\
    &=0,625\end{align*}$
    Ainsi la fonction retournera la valeur $0,625$.
    $\quad$

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$\quad$

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