E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause méridienne et sur les rythmes scolaires.

L’enquête révèle que $55 \%$ des élèves sont favorables à une pause méridienne plus longue.

Parmi ceux qui sont favorables à une pause méridienne plus longue, $95 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

Parmi ceux qui ne sont pas favorables à une pause méridienne plus longue, seulement $10 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

On tire au hasard le nom d’un élève du lycée.
On considère les événements suivants :

  • $L$ : « L’élève concerné est favorable à une pause méridienne plus longue. »
  • $C$ : « L’élève concerné souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(C)=0,567~5$
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.
    $\quad$
  5. Les événements $L$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(L\cap C)&=P(L)\times P_L(C)\\
    &=0,55\times 0,95\\
    &=0,522~5\end{align*}$
    La probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est égale à $0,522~5$.
    $\quad$
  3. $L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(L\cap C)+P\left(\conj{L}\cap C\right) \\
    &=0,522~5+0,45\times 0,1\\
    &=0,567~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_C(L)&=\dfrac{P(L\cap C)}{P(C)}\\
    &=\dfrac{0,522~5}{0,567~5}\\
    &\approx 0,920~7\end{align*}$
    la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est environ égale à $0,920~7$.
    $\quad$
  5. On a $P(L)=0,55$ et $P(C)=0,567~5$
    Par conséquent $P(L)\times P(C)=0,312~125$ or $P(C\cap L)=0,522~5$
    Ces deux valeurs sont différentes. Les événements $L$ et $C$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

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$\quad$

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