Probabilités

E3C2 – 1ère

Au sein d’un lycée, parmi les élèves de première ayant choisi la spécialité
mathématique, il y a $110$ filles dont $5$ ne poursuivent pas la spécialité en terminale et $90$ garçons dont $8$ ne poursuivent pas la spécialité.

On interroge au hasard un élève et on définit les événements suivants :

$F$ l’événement : « L’élève interrogé est une fille »,
$G$ l’événement : « L’élève interrogé est un garçon »,
$S$ l’événement : « L’élève interrogé poursuit la spécialité ».

On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.

Calculer $p(G)$,$p\left(G\cap \conj{S}\right)$ et $p\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
L’élève interrogé ne poursuit pas la spécialité. Calculer la probabilité que ce soit un garçon.
$\quad$
Les événements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} p(G)&=\dfrac{90}{110+90}\\
&=0,45\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(G\cap \conj{S}\right)&=\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,04\end{align*}$
$F$ et $G$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\conj{S}\right)&=p\left(F\cap \conj{S}\right)+p\left(G\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{5}{90+110}+\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,065\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\conj{S}}(G)&=\dfrac{p\left(G\cap \conj{S}\right) }{p\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,04}{0,065}\\
&=\dfrac{8}{13}\end{align*}$
La probabilité que l’élève interrogé soit un garçon sachant qu’il ne poursuit pas la spécialité est $\dfrac{8}{13}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(S)&=1-p\left(\conj{S}\right) \\
&=1-0,065\\
&=0,935\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} p(G)\times p(S)&=0,45\times 0,935\\
&=0,420~75\end{align*}$
Or $\begin{align*} p(G\cap S)&=\dfrac{90-8}{90+110}\\
&=0,41\end{align*}$
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $G$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence