E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un fromager fait l’inventaire des produits qu’il a en cave.
Le graphique ci-dessous indique la répartition de ses $3$ types de fromages : au lait de chèvre, au lait de vache ou au lait de brebis.

Chacun de ses $3$ types de fromages se partage en deux catégories : frais ou affiné.
Le tableau suivant donne la répartition des fromages de chaque catégorie suivant leur affinage :

$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&\text{frais}& \text{affiné}\\
\hline
\text{Lait de vache}& 20 \%& 80 \%\\
\hline
\text{Lait de chèvre}& 40 \%& 60 \%\\
\hline
\text{Lait de brebis}& 70 \% &30 \%\\
\hline
\end{array}$$

Le fromager prend un fromage au hasard. On note les événements suivants :

  • $V$ : « le fromage est fait avec du lait de vache » ;
  • $C$ : « le fromage est fait avec du lait de chèvre » ;
  • $B$ : « le fromage est fait avec du lait de brebis » ;
  • $F$ : « le fromage est frais » ;
  • $A$ : « le fromage est affiné ».
  1. Donner les probabilités $P_C(A)$ et $P(B)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(A) = 0,675$.
    $\quad$
  3. Le fromager prend au hasard un fromage affiné. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un fromage au lait de vache ? On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P_C(A)=0,6$ et $P(B)=0,15$
    $\quad$
  2. $V$, $C$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)&=P(A\cap V)+P(A\cap C)+P(A\cap B)\\
    &=0,6\times 0,8+0,25\times 0,6+0,15\times 0,3\\
    &=0,675\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,675} \\
    &\approx 0,711\end{align*}$
    La probabilité que le fromage pris au hasard soit au lait de vache sachant qu’il est affiné est environ égale à $0,711$.
    $\quad$

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$\quad$

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