E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au cours de l’hiver, on observe dans une population, $12 \%$ de personnes malades.
Parmi les personnes malades, $36 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Parmi les personnes non malades, $54 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note $M$ l’événement « la personne est malade » et $S$ l’événement « la personne a une activité sportive régulière ».
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10 ^{-3}$ près.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré.

    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement ?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
    $\quad$
  3. La personne choisie n’a pas d’activité sportive régulière. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit malade ?
    $\quad$
  4. Un journaliste annonce qu’une pratique régulière d’une activité sportive diminue par deux le risque de tomber malade. Que peut-on conclure sur la pertinence de cette annonce ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(S\cap M)&=P(M)\times P_M(S) \\
    &=0,12\times 0,36\\
    &=0,043~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,043~2$.
    $\quad$
    b.
     $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
    &=0,12\times 0,36+0,88\times 0,54\\
    &=0,518~4\end{align*}$
    La probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{S}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap M\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,12\times 0,64}{1-0,518~4} \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    $\quad$
  4. On calcule :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,12 \times 0,36}{0,518~4} \\
    &\approx 0,083\end{align*}$
    Or $\dfrac{0,159}{2} \neq 0,083$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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