E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule en notant sa couleur puis on la remet dans l’urne.
On tire ensuite toujours au hasard une deuxième boule en notant sa couleur.
On note $R$ l’évènement « tirer une boule rouge » et $N$ l’évènement « tirer une boule noire ».

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette expérience.

    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
    $\quad$
  3. Si un joueur tire une boule rouge, il gagne 20 euros. S’il tire une boule noire, il perd $10$ euros.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, à l’issue des deux tirages successifs.
    Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le joueur gagne de l’argent.
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré :

    $\quad$
  2. La probabilité de tirer deux boules rouges est :
    $\begin{align*} P(R\cap R)&=P(R)\times P_R(R)\\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5} \\
    &=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-20$, $10$ et $40$.
    $\begin{align*} P(X=-20)&=P(N\cap N)\\
    &=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}\\
    &=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=40)&=P(R\cap R)\\
    &=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10)&=1-\left(P(X=-20)+P(X=40)\right)\\
    &=1-\dfrac{13}{25}\\
    &=\dfrac{12}{25}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La probabilité qu’il gagne de l’argent est égale à $P(X=10)+P(40)=\dfrac{21}{25}$.
    $\quad$
  5. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-20 P(X=-20)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
    &=-20\times \dfrac{9}{25}+10\times \dfrac{12}{25}+40\times \dfrac{4}{25} \\
    &=4\end{align*}$
    Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de parties, un joueur va gagner $4$ € par partie.
    $\quad$

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$\quad$

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