E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :

  • La probabilité qu’il gagne la première partie est de $0,2$.
  • S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de $0,9$.
  • S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de $0,6$.

On note :

  • $G_1$ l’événement « Maxime gagne la première partie »
  • $G_2$ l’événement « Maxime gagne la première partie »

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

On sait de plus que :

  • -à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,5$ €.
  • à chaque partie perdue, il perd $1$ €.

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime à l’issue des deux parties.

  1. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&&&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0,18}&\phantom{0,18}&0,18&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. La probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu est :
    $\begin{align*} P\left(G_1\cap G_2\right)&=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right) \\
    &=0,2\times 0,9\\
    &=0,18\end{align*}$
    $\quad$
  3. $G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(G_2\right)&=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=0,18+0,8\times 0,4\\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&-2&0,5&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,48&0,34&0,18&1\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    – $P(X=-2)=0,8\times 0,6=0,48$
    – $P(X=0,5)=1-(0,48+0,18)=0,34$
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,48+0,5\times 0,34+3\times 0,18 \\
    &=-0,25\end{align*}$
    Par conséquent $E(X)\neq 0$. Le jeu n’est donc pas équitable.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence