Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un dé équilibré à six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.
L’urne U contient $40$ boules blanches et $60$ boules rouges.
L’urne V contient $70$ boules blanches et $30$ boules rouges.

Un jeu consiste à lancer le dé puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient $1$ ou $6$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient $2$, $3$, $4$ ou $5$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne V.
On considère les événements :
$\hspace{1cm}U$ : « le tirage s’effectue dans l’urne U »
$\hspace{1cm}V$ : « le tirage s’effectue dans l’urne V »
$\hspace{1cm}B$ : « la boule tirée est blanche »
$\hspace{1cm}R$ : « la boule tirée est rouge ».
Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième.

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
  $\quad$
2. Déterminer la probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge ».
  $\quad$
3. On tire une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne U ?
  $\quad$
4. Pour jouer, il faut miser $1$ €. Le joueur gagne $3$ € s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note $G$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
  a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
  On donnera le tableau de la loi de probabilité, mais aucune justification n’est demandée.
  $\quad$
  b. Calculer l’espérance mathématique de $G$. Interpréter ce résultat.
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$U$ et $V$ forment un système complet d”événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(U\cap R)+P(V\cap R)\\
&=\dfrac{1}{3}\times 0,6+\dfrac{2}{3}\times 0,3\\
&=0,4\end{align*}$
La probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge » est égale à $0,4$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(U)&=\dfrac{P(U\cap R)}{P(R)}\\
&=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,4}\\
&=0,5\end{align*}$
La probabilité que la boule ait été tirée dans l’urne U sachant qu’elle est rouge est égale à $0,5$.
$\quad$
a. On obtient la loi de probabilité suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
g_i&2&-1\\
\hline
P\left(G=g_i\right)&0,4&0,6\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de $G$ est :
$\begin{align*} E(G)&=2\times 0,4+(-1)\times 0,6\\
&=0,2\end{align*}$
En moyenne, un joueur gagne $0,2$ €.
$\quad$

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$\quad$

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