E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note:

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique »;
  • $M$ l’événement «le voyageur porte un objet métallique».

On note $\conj{S}$ et $\conj{M}$ les événements contraires des événements $S$ et $M$.

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On admet que :

  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,95$.
  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est de $0,96$.
  1. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, modélisant cette situation :

    $\quad$
  3. Montrer que $P(S)=0,041~82$.
    $\quad$
  4. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Les événements $M$ et $S$ sont-ils indépendants?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,95$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,96$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
    &=\dfrac{1}{500}\times 0,95+\dfrac{499}{500}\times 0,04\\
    &=0,041~82\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{500}\times 0,95}{0,041~82} \\
    &\approx 0,045\end{align*}$
    La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant est environ égale à $0,045$.
    $\quad$
  5. On a $P(S)=0,041~82$ et $P_M(S)=0,95$.
    Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $M$ et $S$ sont donc indépendants.
    $\quad$

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$\quad$

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