Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.

Un gérant d’un salon de thé achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.
Il achète $80 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Au thé de qualité » et $20 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Bon thé ».
Des contrôles de qualité montrent que $10 \%$ des boîtes provenant du fournisseur « Au thé de qualité » présentent des traces de pesticides et que $20 \%$ de celles provenant du fournisseur « Bon thé » présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du gérant et on considère les événements suivants :
$A$ : « la boîte provient du fournisseur « Au thé de qualité » » ;
$B$ : « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » » ;
$T$ : « la boîte présente des traces de pesticides ».

Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
Quelle est la probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide ?
$\quad$
Que représente l’événement $B\cap \conj{T}$ ? Quelle est la probabilité de cet événement ?
$\quad$
Justifier que la probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur « Bon thé » ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
&=0,8\times 0,1\\
&=0,08\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide est égale à $0,08$.
$\quad$
L’événement $B\cap \conj{T}$ est « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » et ne contient pas de pesticide. »
$\begin{align*} P\left(B\cap \conj{T}\right) &=P(B)\times P_B\left(\conj{T}\right) \\
&=0,2\times 0,8 \\
&=0,16\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{T}\right)&=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(B\cap \conj{T}\right) \\
&=0,8\times 0,9+0,16 \\
&=0,88\end{align*}$
La probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(B)&=\dfrac{P(B\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,2}{1-0,88}\\
&=\dfrac{1}{3}\\
&\approx 0,33\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur « Bon thé » sachant qu’elle présente des traces de pesticides est environ égale à $0,33$.
$\quad$

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$\quad$

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