E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.

On étudie un test de dépistage pour une certaine maladie dans une population donnée. On sait que $1\%$ de la population est atteint de la maladie. Des études ont montré que si une personne est malade, alors le test se révèle positif dans $97\%$ des cas et si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans $98\%$ des cas.
Pour une personne à qui ont fait passer le test de dépistage on associe les événements :

  • $M$ : la personne est malade,
  • $T$ : le test est positif.
  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’exercice.
  2. Justifier que $P\left(\conj{M}\cap T\right)=0,019~8$.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(T)=0,029~5$.
    $\quad$
  4. Calculer $P_T(M)$.
    $\quad$
  5. Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie ?
    $\quad$

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$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{M}\cap T\right)&=P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,99\times 0,02\\
    &=0,019~8\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les événements $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
    &=0,01\times 0,97+0,019~8 \\
    &=0,029~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a ainsi
    $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,01\times 0,97}{0,029~5}\\
    &\approx 0,328~8\end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la question précédente la probabilité que la personne soit malade sachant que le test est positif est $P_T(M)\approx 0,328~8$.
    La personne n’est donc pas nécessairement atteinte par cette maladie.
    $\quad$

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