E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d’automobiles : « Citadine » ou « Routière ».
Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

  • « Sport » au tarif de $2~500$ euros par véhicule,
  • « Luxe » au tarif de $4~000$ euros par véhicule.

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

  • $80\%$ des clients ont commandé une automobile « Citadine ». Les autres clients ont commandé une automobile « Routière ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Citadine », $70\%$ ont pris la finition « Sport ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Routière », $60\%$ ont pris la finition « Luxe ».

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le client a commandé une automobile « Citadine » »,
  • $L$ : « Le client a choisi la finition « Luxe » ».

D’une manière générale, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire d’un évènement $A$.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

  1. Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe », c’est-à-dire calculer $P(C\cap L)$.
    $\quad$
  3. Justifier que $P(L) = 0,36$.
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
    a. Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap L)&=P(C)\times P_C(L)\\
    &=0,8\times 0,3\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe » est égale à $0,24$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(C\cap L)+P\left(\conj{C}\cap L\right) \\
    &=0,24+0,2\times 0,6\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a donc
    $\begin{align*} P(X=2~500)&=P\left(\conj{L}\right) \\
    &=1-0,36\\
    &=0,64\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} P(X=4~000)&=P(L) \\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=2~500P(X=2~500)+4~000P(X=4~000)\\
    &=2~500\times 0,64+4~000\times 0,36\\
    &=3~040\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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