E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

$150$ élèves d’un établissement sont inscrits aux activités du midi :

  • $30$ sont inscrits en musique.
  • $45$ sont inscrits en sport
  • $75$ sont inscrits en cinéma.

Chaque élève pratique une et une seule activité.
Parmi les élèves inscrits en musique, $30 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en sport, $60 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en cinéma, $72 \%$ sont des filles.

On choisit au hasard un élève inscrit aux activités du midi.
On note :

  • $F$ l’événement : « l’élève choisi est une fille »,
  • $M$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en musique »,
  • $S$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en sport »,
  • $C$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en cinéma ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré représentant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. Les évènements $M$ et $F$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$
  5. Sachant que l’élève choisi est un garçon, calculer la probabilité qu’il soit inscrit en cinéma.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(M\cap F)&=P(M)\times P_M(F) \\
    &=0,2\times 0,3\\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $M$, $S$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(M\cap F)+P(S\cap F)+P(C\cap F)\\
    &=0,06+0,3\times 0,6+0,5\times 0,72\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. $P(M)\times P(F)=0,12$ et $P(M\cap F)=0,06$
    Il n’y a pas égalité. Les événements $M$ et $F$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(C)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap C\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,28}{1-0,6} \\
    &=0,35\end{align*}$
    La probabilité que l’élève soit inscrit en cinéma sachant que c’est un garçon est égale à $0,35$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence