Probabilités

E3C2 – 1ère

$150$ élèves d’un établissement sont inscrits aux activités du midi :

$30$ sont inscrits en musique.
$45$ sont inscrits en sport
$75$ sont inscrits en cinéma.

Chaque élève pratique une et une seule activité.
Parmi les élèves inscrits en musique, $30 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en sport, $60 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en cinéma, $72 \%$ sont des filles.

On choisit au hasard un élève inscrit aux activités du midi.
On note :

$F$ l’événement : « l’élève choisi est une fille »,
$M$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en musique »,
$S$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en sport »,
$C$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en cinéma ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré représentant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique.
$\quad$
Montrer que la probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
$\quad$
Les évènements $M$ et $F$ sont-ils indépendants ?
$\quad$
Sachant que l’élève choisi est un garçon, calculer la probabilité qu’il soit inscrit en cinéma.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(M\cap F)&=P(M)\times P_M(F) \\
&=0,2\times 0,3\\
&=0,06\end{align*}$
La probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique est égale à $0,06$.
$\quad$
$M$, $S$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(F)&=P(M\cap F)+P(S\cap F)+P(C\cap F)\\
&=0,06+0,3\times 0,6+0,5\times 0,72\\
&=0,6\end{align*}$
La probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
$\quad$
$P(M)\times P(F)=0,12$ et $P(M\cap F)=0,06$
Il n’y a pas égalité. Les événements $M$ et $F$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{F}}(C)&=\dfrac{P\left(\conj{F}\cap C\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
&=\dfrac{0,5\times 0,28}{1-0,6} \\
&=0,35\end{align*}$
La probabilité que l’élève soit inscrit en cinéma sachant que c’est un garçon est égale à $0,35$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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