Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l’autre quart. Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :

$2\%$ des aiguilles du site A sont défectueuses ;
$4\%$ des aiguilles du site B sont défectueuses.

Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les événements suivants :

$A$ : l’aiguille provient du site A ;
$B$ : l’aiguille provient du site B ;
$D$ : l’aiguille présente un défaut.

L’événement contraire de $D$ est noté $\conj{D}$.

D’après les données de l’énoncé, donner la valeur de la probabilité de l’événement $A$ que l’on notera $P(A)$.
$\quad$
Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.
$\quad$
Quelle est la probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A ?
$\quad$
Montrer que $P(D) = 0,025$.
$\quad$
Après inspection, l’aiguille choisie se révèle défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite sur le site A ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

D’après l’énoncé, on a $P(A)=0,75$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap D)&=P(A)\times P_A(D)\\
&=0,75\times 0,02 \\
&=0,015\end{align*}$
La probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A est égale à $0,015$.
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)\\
&=0,015+0,25\times 0,04 \\
&=0,025\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_D(A)&=\dfrac{P(D\cap A)}{P(D)}\\
&=\dfrac{0,015}{0,025}\\
&=0,6\end{align*}$
La probabilité que l’aiguille choisie ait été produite sur le site A sachant qu’elle se révèle défectueuse est égale à $0,6$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence