E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le dépistage d’une maladie particulière que l’on appelle M s’effectue par un test basé sur le dosage d’une hormone particulière. D’après une étude, cette maladie M touche $1,5 \%$ de la population.

Si une personne est atteinte par la maladie M, le test sera positif dans $95 \%$ des cas ;
alors que si la personne n’est pas atteinte par la maladie M, le test sera négatif dans $99 \%$ des cas.

On soumet à ce test une personne prise au hasard dans la population.

On note :

  • $A$ l’évènement « La personne est atteinte par la maladie M.» ;
  • $T$ l’évènement « Le test est positif.».
  1. Déterminer la probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité pour que le test soit positif.
    $\quad$
  3. Calculer $P_T\left(\conj{A}\right)$ (Arrondir à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(A)=0,015$ et $P_A(T)=0,95$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
    &=0,015\times 0,95\\
    &=0,014~25\end{align*}$
    La probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade est égale à $0,014~25$.
    $\quad$
  2. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=0,014~25+0,985\times 0,01\\
    &=0,024~1\end{align*}$
    La probabilité pour que le test soit positif est égale à $0,024~1$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_T\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{A}\right)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,985\times 0,01}{0,024~1}\\
    &\approx 0,409\end{align*}$
    La probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que le test est positif est environ égale à $0,409$.
    $\quad$

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$\quad$

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