Probabilités

E3C2 – 1ère

Le dépistage d’une maladie particulière que l’on appelle M s’effectue par un test basé sur le dosage d’une hormone particulière. D’après une étude, cette maladie M touche $1,5 \%$ de la population.

Si une personne est atteinte par la maladie M, le test sera positif dans $95 \%$ des cas ;
alors que si la personne n’est pas atteinte par la maladie M, le test sera négatif dans $99 \%$ des cas.

On soumet à ce test une personne prise au hasard dans la population.

On note :

$A$ l’évènement « La personne est atteinte par la maladie M.» ;
$T$ l’évènement « Le test est positif.».

Déterminer la probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade.
$\quad$
Déterminer la probabilité pour que le test soit positif.
$\quad$
Calculer $P_T\left(\conj{A}\right)$ (Arrondir à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P\left(\conj{A}\right)=0,985$ et $P_{\conj{A}}(T)=0,01$.
Par conséquent :
$\begin{align*} P(T\cap \conj{A})&=P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=0,985\times 0,01\\
&=0,009~85\end{align*}$
La probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade est égale à $0,009~85$.
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=0,014~25+0,985\times 0,01\\
&=0,024~1\end{align*}$
La probabilité pour que le test soit positif est égale à $0,024~1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P_T\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{A}\right)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,985\times 0,01}{0,024~1}\\
&\approx 0,409\end{align*}$
La probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que le test est positif est environ égale à $0,409$.
$\quad$

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$\quad$

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