E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des études statistiques montrent que :

  • l’assortiment de macarons est choisi par $50 \%$ des clients ;
  • la part de tarte tatin, est choisie par $30 \%$ des clients ;
  • $20 \%$ des clients ne prennent pas de dessert ;
  • aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :

  • parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, $80 \%$ prennent un café ;
  • parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, $60 \%$ prennent un café ;
  • parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café.

On interroge au hasard un client de ce restaurant.
On note les événements suivants :

  • $M$ : « Le client prend un assortiment de macarons » ;
  • $T$ : « Le client prend une part de tarte tatin » ;
  • $P$ : « Le client ne prend pas de dessert » ;
  • $C$ : « Le client prend un café » et $\conj{C}$ l’événement contraire de $C$.
  1. En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de $P(T)$ probabilité de $T$ et celle de $P_T(C)$ probabilité de l’évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
    $\quad$
  3. a. Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement $M \cap C$ puis calculer $P(M \cap C)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $P(C) = 0,76$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième).
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(T)=0,3$ et $P_T(C)=0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. a. $M\cap C$ est l’événement « Le client prend un assortiment de macarons et un café ».
    $\begin{align*} P(M\cap C)&=P(M)\times P_M(C)\\
    &=0,5\times 0,8\\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
    b. $M$, $T$ et $P$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(P\cap C)\\
    &=0,4+0,3\times 0,6+0,2\times 0,9\\
    &=0,76\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(M)&=\dfrac{P(C\cap M)}{P(C)}\\
    &=\dfrac{0,4}{0,76}\\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café est environ égale à $0,53$.
    $\quad$

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$\quad$

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