Probabilités

E3C2 – 1ère

Claire joue régulièrement à un jeu de simulation de tournois de judo en ligne. Les adversaires qu’elle combat sont générés automatiquement de manière aléatoire selon le niveau atteint dans le jeu.
Elle a atteint le niveau le plus élevé, celui de la ceinture noire. Les scores relevés par le jeu montrent qu’elle gagne dans $45\%$ des cas si son adversaire est ceinture noire et dans $70\%$ si son adversaire n’est pas ceinture noire.
Claire commence un tournoi et un premier adversaire est généré par le jeu. A ce niveau la probabilité d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est $0,6$.
On note :

$N$ l’événement : « l’adversaire est ceinture noire » ;
$G$ l’événement : « Claire gagne le combat ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant cette situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi.
$\quad$
Montrer que la probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
$\quad$
Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire ?
$\quad$
On considère dans cette question que la probabilité que Claire gagne est $0,55$. Elle fait deux combats successifs.
On note $X$ la variable qui compte le nombre de victoires.
Donner la loi de probabilité de $X$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(N\cap G)&=P(N)\times P_N(G)\\
&=0,6\times 0,45\\
&=0,27\end{align*}$
La probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi est égale à $0,27$.
$\quad$
$N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(G)&=P(N\cap G)+P\left(\conj{N}\cap G\right) \\
&=0,27+0,4\times 0,7\\
&=0,55\end{align*}$
La probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{G}}(N)&=\dfrac{P\left(\conj{G}\cap N\right)}{P\left(\conj{G}\right)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,55}{1-0,55}\\
&=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
La probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire sachant qu’il a été perdu est égale à $\dfrac{11}{15}$.
$\quad$
$X$ peut prendre les valeurs $0$, $1$ et $2$.
$\begin{align*}P(X=2)&=0,55^2\\
&=0,302~5\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=0)&=0,45^2\\
&=0,202~5\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=1)&=1-\left(P(X=0)+P(X=2)\right)\\
&=0,495\end{align*}$
$\quad$
Remarque : La variable aléatoire $X$ suit en fait la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,55$.
$\quad$

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$\quad$

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