Probabilités

E3C2 – 1ère

Lors des journées classées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges en passant par Orléans est surchargée.
Lors de ces journées classées « rouges », on a pu observer le comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.

Pour le trajet de Paris à Orléans, $30 \%$ d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
Pour le trajet d’Orléans à Limoges :
- parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans, $40 \%$ prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;
- parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, $45 \%$ prennent la route départementale , les autres prennent l’autoroute.

On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement « l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans » et $D$ l’événement « l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et Limoges ».
Si $A$ est un évènement, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.

Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.
$\quad$
$\quad$
Calculer $P\left(\conj{N} \cap \conj{D}\right)$ et interpréter le résultat.
$\quad$
Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est $0,565$.
$\quad$
Lors de ces journées classées « rouges », on donne les temps de parcours suivants :
Paris – Orléans, par autoroute : $3$ heures ;
Paris – Orléans, par nationale : $2$ heures ;
Orléans – Limoges, par autoroute : $4$ heures ;
Orléans – Limoges, par départementale : $3$ heures et demie.
$\quad$
Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilité :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
\hline
\text{Temps en heure}&5,5&&&\\
\hline
\text{Probabilité}&0,12&&&\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)&=P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}\left(\conj{D}\right) \\
&=0,7\times 0,55\\
&=0,385\end{align*}$
La probabilité pour que l’automobiliste n’ait pris ni la route nationale ni la route départementale est égale à $0,385$.
$\quad$
$N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{D}\right)&=P\left(N\cap \conj{D}\right)+P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)\\
&=P(N)\times P_N\left(\conj{D}\right)+0,385\\
&=0,3\times 0,6+0,385\\
&=0,565\end{align*}$
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
\hline
\text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7\\
\hline
\text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure.
On a ainsi $P(X=5,5)=0,12$, $P(X=6)=0,18$, $P(X=6,5)=0,315$ et $P(X=7)=0,385$.
Ainsi l’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=5,5\times 0,12+6\times 0,18+6,5\times 0,315+7\times 0,385\\
&=6,482~5\end{align*}$
En moyenne, la durée du trajet est d’environ $6,5$ heures.
$\quad$
Remarque : On pouvait, pour simplifier un peu les calculs, utiliser la variable aléatoire $Y=X-5,5$.
On a alors
$\begin{align*} E(Y)&=0\times 0,12+0,5\times 0,18+1\times 0,315+1,5\times 0,385\\
&=0,982~5\end{align*}$
Or $X=Y+5,5$
Ainsi $E(X)=E(Y)+5,5=6,482~5$.
$\quad$

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