Probabilités

E3C2 – 1ère

La gestionnaire d’un cinéma s’intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu’à leur consommation au rayon « friandises ». Une étude sur plusieurs mois a montré que $40 \%$ des spectateurs sont allés voir un film d’action, $35 \%$ un dessin animé et les autres une comédie.
Parmi les spectateurs allant voir un film d’action, la moitié achètent des friandises, alors qu’ils sont $80 \%$ pour ceux allant voir un dessin animé et $70 \%$ pour ceux allant voir une comédie.
On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :
$\hspace{1.5cm} A$ l’événement : « le spectateur a vu un film d’action »,
$\hspace{1.5cm} D$ l’événement : « le spectateur a vu un dessin animé »,
$\hspace{1.5cm} C$ l’événement : « le spectateur a vu une comédie »,
$\hspace{1.5cm} F$ l’événement : « le spectateur a acheté des friandises ».

Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
$\quad$
Démontrer que $P(F) = 0,655$.
$\quad$
On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un dessin animé ? On donnera l’arrondi à $10^{-3}$.
$\quad$
Une place de cinéma coûte $10$ €. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense $18$ € pour sa place de cinéma et ses friandises.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût d’une sortie au cinéma pour un spectateur.
a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
b. En déduire le coût moyen par spectateur d’une sortie dans ce cinéma.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$A$, $D$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(D\cap F)+P(C\cap F) \\
&=0,4\times 0,5+0,35\times 0,8+0,25\times 0,7\\
&=0,655\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_F(D)&=\dfrac{P(D\cap F)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,35\times 0,8}{0,655}\\
&\approx 0,427\end{align*}$
La probabilité que le spectateur ait vu un dessin animé sachant qu’il a acheté des friandises est environ égale à $0,427$.
$\quad$
a. $X$ peut prendre les valeurs $10$ et $18$.
$\begin{align*} P(X=18)&=P(F)\\
&=0,655\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10)&=1-P(X=18)\\
&=0,345\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=18\times 0,655+10\times 0,345\\
&=15,24\end{align*}$
En moyenne, un spectateur dépense $15,24$ € dans ce cinéma.
$\quad$

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$\quad$

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