E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un modèle de téléphone portable d’une grande entreprise est produit par deux sous-traitants A et B.

Chez le sous-traitant A, qui assure $40 \%$ de la production totale, $4 \%$ des téléphones sont défectueux.

Le sous-traitant B assure le reste de la production.

On constate que la probabilité qu’un téléphone pris au hasard dans les stocks de l’entreprise soit défectueux est de $0,034$.

  1. Quel pourcentage de la production totale le sous-traitant B assure-t-il ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’un téléphone provienne du sous-traitant B sachant qu’il est défectueux ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

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Correction Exercice

  1. Le sous-traitant A assure $40 \%$ de la production totale.
    Le sous-traitant $B$ assure donc $60\%$ de la production totale.
    $\quad$
  2. On choisit un téléphone au hasard et on appelle :
    $\bullet$ $B$ l’événement « le téléphone provient du sous-traitant B »;
    $\bullet$ $D$ l’événement « le téléphone est défectueux ».
    On sait que $P(D)=0,034$, $P\left(\conj{B}\right)=0,4$ et $P_{\conj{B}}(D)=0,04$
    On va tout d’abord calculer $P(B\cap D)$.
    $B$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &P(D)=P(B\cap D)+P\left(\conj{B}\cap D\right)\\\ssi~& 0,034=P(B\cap D)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(D) \\
    \ssi~& 0,034=P(B\cap D)+0,4\times 0,04 \\
    \ssi~& 0,034=P(B\cap D)+0,016\\
    \ssi~& P(B\cap D)=0,018\end{align*}$
    $\quad$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_D(B)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,018}{0,034} \\
    &\approx 0,529\end{align*}$
    La probabilité qu’un téléphone proviennent du sous-traitant B sachant qu’il est défectueux est donc environ égale à $0,529$.
    $\quad$

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