E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un magasin de téléphonie mobile lance une offre sur ses smartphones de la marque Pomme vendus à $800$ € : il propose une assurance complémentaire pour $50$ € ainsi qu’une coque à $20$ €.
Ce magasin a fait les constatations suivantes concernant les acheteurs de ce smartphone :

  • $40\%$ des acheteurs ont souscrit à l’assurance complémentaire.
  • Parmi les acheteurs qui ont souscrit à l’assurance complémentaire, $20\%$ ont acheté en plus la coque.
  • Parmi les acheteurs qui n’ont pas souscrit à l’assurance
    complémentaire, deux sur trois n’ont pas acheté la coque.

On interroge au hasard un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
On considère les évènements suivants :
$A$ : « le client a souscrit à l’assurance complémentaire » ;
$C$ : « le client a acheté la coque ».

  1. Calculer la probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
    complémentaire et ait acheté la coque.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(C) = 0,28$.
    $\quad$
  3. Le client interrogé a acheté la coque.
    Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire ?
    $\quad$
  4. Déterminer la dépense moyenne d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
    On pourra noter $X$ la variable aléatoire qui représente la dépense en euros d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :

    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap C)&=P(A)\times P_A(C)\\
    &=0,4\times 0,2\\
    &=0,08\end{align*}$
    La probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
    complémentaire et ait acheté la coque est égale à $0,08$.
    $\quad$
  2. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(C\cap A)+P\left(\conj{C}\cap A\right) \\
    &=0,08+0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap C\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,28} \\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    La probabilité que le client n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire sachant qu’il a acheté la coque est égale à $\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $800$, $820$, $850$ et $870$.
    $\begin{align*} P(X=800)&=P\left(\conj{A}\cap \conj{C}\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{2}{3} \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=820)&=P\left(\conj{A}\cap C\right) \\
    &=0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=850)&=P\left(A\cap\conj{C}\right) \\
    &=0,4\times 0,8 \\
    &=0,32\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=870)&=P\left(A\cap C\right) \\
    &=0,4\times 0,2 \\
    &=0,08\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} E(X)&=\small{800P(X=800)+820P(X=820)+850P(X=850)+870P(X=870)}\\
    &=\small{800\times 0,4+820\times 0,2+850\times 0,32+870\times 0,08}\\
    &=825,6\end{align*}$
    Un client ayant acheté un smartphone de la marque Pomme dépensera donc en moyenne $825,6$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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