Probabilités

E3C2 – 1ère

Une angine peut être provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne) soit par un virus (angine virale). On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie. L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne mais il présente des risques d’erreur :

si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas
si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

$B$ l’événement : « l’angine est bactérienne » ;
$T$ l’événement : « le test effectué sur le malade est positif »

Si besoin, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Quelle est la probabilité que l’angine soit bactérienne et que le test soit positif ?
$\quad$
Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
$\quad$
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(B\cap T)&=p(B)\times p_B(T) \\
&=0,2\times 0,7 \\
&=0,14\end{align*}$
La probabilité que l’angine soit bactérienne et que le test soit positif est égale à $0,14$.
$\quad$
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
&=0,2\times 0,7+0,8\times 0,1\\
&=0,22\end{align*}$
La probabilité que le test soit positif est égale à $0,22$.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,14}{0,22}\\
&=\dfrac{7}{11}\\
&\approx 0,636\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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