E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

  • $M$ : « Karim marque un but » ;
  • $R$ : « Karim rate le tir au but ».

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l’issue de cette série de tirs par Karim.
    a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise $15$ € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$ €, et chaque but manqué par Karim ne
    lui rapporte rien.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
    a. Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant

    $\quad$
    b.     La variable aléatoire $X$ ne peut prendre que les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,3^3 \\
    &=0,027\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=3\times 0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,189\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=2)&=3\times 0,7^2\times 0,3 \\
    &=0,441\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=3)&=0,7^3 \\
    &=0,343\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On dit que la variable aléatoire $X$ suit uneloi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,7$.
    $\quad$
    c. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)}\\
    &=1\times 0,189+2\times 0,441+3\times 0,343\\
    &=2,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc $Y=6X-15$
    $\quad$
    b. On sait que $E(aX+b)=aE(X)+b$.
    Donc, ici :
    $\begin{align*} E(Y)&=6E(X)-15\\
    &=6\times 2,1-15\\
    &=-2,4\end{align*}$
    À chaque partie, le joueur perd donc en moyenne $2,4$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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