Probabilités

E3C2 – 1ère

Une agence de voyage propose deux formules week-end pour se rendre à Londres au départ de Nantes. Les clients choisissent leur moyen de transport : train ou avion.

De plus, s’ils le souhaitent, ils peuvent compléter leur formule par l’option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

$40 \%$ des clients optent pour l’avion ;
parmi les clients ayant choisi le train, $50 \%$ choisissent aussi l’option « visites guidées » ;
$12 \%$ des clients ont choisi à la fois l’avion et l’option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « le client a choisi l’avion » ;
$V$ : « le client a choisi l’option « visites guidées ».

Déterminer $P_A(V)$.
$\quad$
Démontrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est égale à $0,42$.
$\quad$
Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées ». Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
On interroge au hasard deux clients de manière aléatoire et indépendante.
Quelle est la probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « visites guidées » ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(A)=0,4$ et $P(A\cap V)=0,12$
Donc :
$\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,12}{0,4} \\
&= 0,3\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(V)&=P(A\cap V)+P\left(\conj{A}\cap V\right) \\
&=0,12+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(V)\\
&=0,12+0,6\times 0,5 \\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est égale à $0,42$.
$\quad$
On veut donc calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{V}\cap A\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,4\times (1-0,3)}{1-0,42}\\
&=\dfrac{0,4\times 0,7}{0,58}\\
&\approx 0,48\end{align*}$
La probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées » est environ égale à $0,48$.
$\quad$
On a donc l’arbre pondéré suivant :

On veut donc calculer :
$\begin{align*} P\left(\conj{V}\cap \conj{V}\right)&=0,58\times 0,58 \\
&=0,336~4\end{align*}$
La probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « visites guidées » est égale à $0,336~4$.
$\quad$

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$\quad$

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