1. Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$ et le point $B$ appartient au segment $[AD]$.
   Par conséquent les vecteurs $\vect{BD}$ et $\vect{TD}$ sont orthogonaux.
   Donc $\vect{TD}.\vect{DB}=0$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} \vect{TA}.\vect{TB}&=\left(\vect{TD}+\vect{DA}\right).\left(\vect{TD}+\vect{DB}\right) \\
   &=\vect{TD}.\vect{TD}+\vect{TD}.\vect{DB}+\vect{DA}.\vect{TD}+\vect{DA}.\vect{DB}\\
   &=18^2+0+0+DA\times DB \quad (*)\\
   &=324+(9+7,32)\times 9 \\
   &=324+16,62\times 9\\
   &=470,88\end{align*}$
   $(*)$ les vecteurs $\vect{DA}$ et $\vect{DT}$ sont orthogonaux donc $\vect{DA}.\vect{TD}=0$.
   $\quad$
3. Dans le triangle $BDT$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} BT^2&=BD^2+DT^2 \\
   &=9^2+18^2\\
   &=405\end{align*}$
   Donc $BT=\sqrt{405}$.
   Dans le triangle $ADT$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} AT^2&=AD^2+DT^2 \\
   &=(9+7,32)^2+18^2\\
   &=590,342~4\end{align*}$
   Donc $AT=\sqrt{590,342~4}$.
   $\quad$
   On a $\vect{TA}.\vect{TB}=470,88$ et $\vect{TA}.\vect{TB}=TA\times TB\times \cos \widehat{ATB}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} &\vect{TA}.\vect{TB}=TA\times TB\times \cos \widehat{ATB} \\
   \ssi~&\cos \widehat{ATB} =\dfrac{\vect{TA}.\vect{TB}}{TA\times TB} \\
   \ssi~&\cos \widehat{ATB}=\dfrac{470,88}{ \sqrt{405}\times \sqrt{590,342~4}}\end{align*}$
   Donc $\widehat{ATB}\approx 15,6$°.

$\quad$