QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$
Autre méthode pour répondre à la question sans faire de calcul :
– L’inégalité est stricte donc cela exclut la réponse a.
– Il s’agit d’une inéquation du second degré. La réponse sera donc un intervalle ou une réunion d’intervalles. Cela exclut alors la réponse d.
– Le coefficient principal est $a=-1<0$ et on cherche l’ensemble sur lequel le polynôme sera strictement positif. Ce sera donc l’intervalle constitué des réels compris entre les racines du polynômes.
L’unique possibilité est alors la réponse b.

$\quad$

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$\quad$

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