E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\e^{100x}$. Alors :

a. $g$ est croissante sur $\R$.
b. $g$ est décroissante sur $\R$.
c. $g$ change de sens de variation sur $\R$.
d. $aucune des propositions a.b. et c. n’est correcte

$\quad$

Correction Question 1

$g(x)$ est de la forme $\e^{ax+b}$ avec $a=100$ et $b=0$.
Par conséquent $g$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=100\e^{100x}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $g'(x)>0$ sur $\R$ et $g$ est strictement croissante sur $\R$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=100x^2+10x+1$. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole dont l’axe de symétrie a pour équation :

a. $x=10$
b. $x=-10$
c. $x=0,05$
d. $x=-0,05$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de l’axe de symétrie est de la forme $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Donc, ici, une équation est $x=-0,05$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $a$ et $b$ les fonctions définies sur $\R$ par $a(x)=3x^2+15x+1$ et $b(x)=25x^2+5x-100$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions $a$ et $b$ ont :

a. $0$ point d’intersection
b. $1$ point d’intersection
c. $2$ points d’intersection
d. $4$ point d’intersection

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} a(x)-b(x)&=3x^2+15x+1-\left(25x^2+5x-100\right)\\
&=-22x^2+10x+101\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=10^2-4\times (-22)\times 101\\
&=8~988\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

La somme $1+5+5^2+\ldots+5^{10}$ est égale à :

a. $2~441~406$
b. $271$
c. $5^{55}$
d. $12~207~031$

$\quad$

Correction Question 4

Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+\ldots+5^{10} \\
&=\dfrac{1-5^{-11}}{1-5}\\
&=12~207~031\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.
On sait de plus que la courbe $C_f$ admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse $-1$ et l’autre au point d’abscisse $3$.

Alors le réel $f(-1) \times f'(3)$ est :

a. strictement positif
b. strictement négatif
c. égal à $0$
d. égal à $f'(-3)$

$\quad$

Correction Question 5

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisse $-1$ et $3$ sont horizontales.
Par conséquent $f'(-1)=0$ et $f'(3)=0$.
Ainsi $$f(-1) \times f'(3)=0$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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